兩直線求銳角平分線

拜網路發展所賜, 今無意間找到張海潮教授《求角平分線或角平分面》的短文, 覺得很驚奇, 因此決定結合先前的做法, 整理成一篇文章。

在平面向量中有一典型的兩直線求銳角平分線的例題, 我們分別會用三種方法求解, 其中以張教授的「求單位法向量的和」最為簡潔方便。

請直接看檔案吧!!

求銳角平分線.tex

求銳角平分線.pdf

以安全為名

這兩天學生期中考了, 站在臺上看著下面振筆疾書, 突然想起不知從什麼時候開始, 學校的期中考要一直考到下午四點才能離開, 溫書假也早已是歷史名詞了。

以安全為名, 因為家長都還在上班, 孩子不應在正常下課時間前回家, 所以我們把孩子關在教室讓他們做自己的事, 順便剝奪他們學習自己規劃自己時間的機會。

以安全為名, 因為公園的磨石子溜滑梯和鐵架會讓孩子受傷, 所以我們全部拆除換上塑膠, 順便剝奪他們在每次的踫撞中學習拿捏分寸的機會。

最後, 我們的孩子就在不斷被剝奪獨立自主機會的情況下, 被要求需要能獨立思考, 甚至18歲就應享有投票權。

我們到底是在教育那個不斷犯錯的孩子, 沒關係, 再來一次; 還是在控制那個不斷惹麻煩的孩子, 乖乖坐好, 不要亂動呢?

為什麼要學 LaTeX?

這是一個關於 LaTeX 的部落格, 所以我們來談談為什麼要學 LaTeX?

在文書處理中, 最常使用的軟體不外乎是 office word, 而你是否會常常踫到下列的問題呢? 用方程式編輯器打的數學式總是要花時間調整位置、在條列式中多插入一項就會全部跑掉、總是一直在拉定位點和尺規來對齊、表格裡多插入一列或一行就要重拉、好不容易做完一份, 下次又要重來一次、插入圖片後版面就變的亂七八糟甚至找不到內容、......等等。

以致於在打文章時, 排版總是比打文章本身更花時間、用滑鼠的時間比鍵盤多!!

我想這不應該是我們在做報告、寫文章、出考卷、寫論文時要一直重複擔心的。

既然排版如此辛苦, 就應該交給專業的來。

LaTeX 能讓你專注在文章內容, 其他排版工作只要事先做簡單的設定, 以後每篇文章都不用再修改。並且不只是文章, 就算編輯投影片、書籍......, 也都有不同的文稿類別來幫你處理。而且這麼完美的排版軟體還是完全免費的, 網路上也有非常多的免費資源能夠讓 LaTeX 愈來愈強大。因此不只是數學, 就算只是一般的文章, LaTeX 都會是你的好選擇。

現在就看 LaTeX 隨插即用 (一) ～(四) 四篇文章, 輕鬆上手 LaTeX 吧！

LaTeX 隨插即用(四): 數學式篇

這篇應該是基本篇的最後一篇了。如果你要開始使用 LaTeX, 只需要讀《LaTeX 隨插即用(一): 軟體篇》、《LaTeX 隨插即用(二): 基礎環境介紹》、《LaTeX 隨插即用(三): 中文環境介紹》和現在這篇就可以上路了。

之後我會以主題式分享一些常用、好用的語法。

正文開始:

會想用 LaTeX 除了碩博士論文指導教授要求以外, 大多是因為看上它排版數學式的能力, 所以這篇我們要介紹如何用 LaTeX 來排版數學式子。

為了方便了解, 先下載範例檔 ( TEX、PDF )。

LaTeX 中的數學式有兩種: 一是在文章內的隨文數式 (如下圖)

另一個是獨立置中的展式數式 (如下圖)

隨文數式需寫在兩錢字號中間 $.......$ (此為最常用寫法), 另外有 \begin{math} ... \end{math}或是 \( ... \) 等寫法。

展式數式用法為 \begin{equation} ... \end{equation} (此法會把式子自動編號), 另外不加上編號可用 \begin{equation*} ... \end{equation*} 、 \begin{displaymath} ... \end{displaymath} 或 \[ ... \] 。

為了讓初步的 LaTeX 編譯出的檔案好看, 我們先在宣告區加入這些指令。

\renewcommand{\baselinestretch}{1.4}%設定行距{倍數}

\usepackage[a4paper, scale={0.75, 0.8}, vmargin=2cm]{geometry}%設定紙張及邊界
\usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}%數學符號

\everymath{\displaystyle}%所有數學模式都用展式數學模式
中文文章的行距必須比英文文章的行距高才不會擠在一起, 所以我們用 \renewcommand{\baselinestretch}{1.4}%設定行距{倍數} 將行距變成 1.4 倍。

為了能用完整的數學符號, 加入 \usepackage{amsmath, amsfonts, amssymb}%數學符號

\everymath{\displaystyle}%所有數學模式都用展式數學模式
此行是為了讓隨文數式中的分式不要擠在一起。

其他常用的數學語法可以先參考範例檔, 之後也會在其他文章中一一呈現。

LaTeX 隨插即用(三): 中文環境介紹

在《如何在 xeLaTeX 中使用半型的中文標點符號》一文中我們已經介紹了中文字體的設定, 這篇則提供更完整的說明。

以下是中文環境設定的範例:

\documentclass[12pt]{article}%文稿種類及字體大小
%中文設定
\usepackage{xeCJK} %讓中英文字體分開設置

\setCJKmainfont[BoldFont={cwTeX Q Hei Bold}]{cwTeX Q Ming Medium} % 設預設中文字型及預設粗體
\setCJKfamilyfont{kai}{cwTeX Q Kai Medium} % 楷書
\setCJKfamilyfont{hei}{cwTeX Q Hei Bold} % 黑體
\setCJKfamilyfont{ming}{cwTeX Q Ming Medium} % 明體
\setCJKfamilyfont{yuan}{cwTeX Q Yuan Medium} % 圓體
\setCJKfamilyfont{fsong}{cwTeX Q Fangsong Medium} % 仿宋體
\newcommand{\kai}[1]{{\CJKfamily{kai}#1}} % 用 \kai{使用楷書}
\newcommand{\hei}[1]{{\CJKfamily{hei}#1}} % 用 \hei{使用黑體}
\newcommand{\ming}[1]{{\CJKfamily{ming}#1}} % 用 \ming{使用明體}
\newcommand{\yuan}[1]{{\CJKfamily{yuan}#1}} % 用 \yuan{使用圓體}
\newcommand{\fsong}[1]{{\CJKfamily{fsong}#1}} % 用 \fsong{使用仿宋體}

\begin{document}

這裡是正文

\end{document}
舉凡所有在 % 符號之後的, LaTeX 編譯時都會自動略過, 所以可依自己的習慣寫上註解。

\documentclass[12pt]{article}
此行設定文字大小為 12 號字, 文稿種類 article 則是最常用的。其他常用的文稿種類還有寫書籍用的 book, 以及製作投影片的 beamer, 先不詳細說明。

\usepackage{xeCJK}
此行為引入 xeCJK 套件, 此套件可以讓我們自由的使用中文。唯文章編碼務必是 UTF-8。

\setCJKmainfont[BoldFont={cwTeX Q Hei Bold}]{cwTeX Q Ming Medium}
此行設定全篇中文字型, 如果你沒有下載 cwTeX Q Ming Medium, 也可以使用電腦裡最常見的標楷體、新細明體或微軟正黑體等等。只要如下修改為 \setCJKmainfont{微軟正黑體} 即可。

\setCJKfamilyfont{kai}{cwTeX Q Kai Medium}
\newcommand{\kai}[1]{{\CJKfamily{kai}#1}}
這兩行可以讓我們在文章中輕鬆改變字型, 語法如上註解。

\begin{documet}......\end{document}
所有的文章內容都必須放在這兩行指令之間, 才會顯示出來。

這樣, 我們就完成了一般中文環境的設置了。

如何在 xeLaTeX 中使用半型的中文標點符號

在 xeLaTeX 中, 中文標點符號除了逗號(，)可自行選擇是否要全型置中或半型置底外, 句號和頓號就只有全型置中這個選項。這對於像我一樣從 cwTeX 跳槽過來的作者而言相當不習慣, 只因 cwTex 的作者吳聰敏教授在《cwTeX排版系統》一書中提到, 半型標點符號加一半型空格比全型標點符號容易閱讀, 改變了我對於文章中標點符號的看法。

要改變標點符號的位置, 比較容易的做法是使用 cwTeX 所製作的中文字型。

首先, 請先至 cwtex-q-fonts 的網站下載 cwTeX 所開發的字型 ttf 檔。解壓縮後, 將 ttf 資料夾中副檔名為 .ttf 的 10 個檔案全複製至 C:\Windows\Fonts 裡即可完成安裝。

接下來, 在文稿結構設定(宣告)中, 將 \setCJKmainfont 中的字體改成 cwTeX Q Ming Medium 即可。

\setCJKmainfont[BoldFont={cwTeX Q Hei Bold}]{cwTeX Q Ming Medium}


來比較一下兩者有何不同

看不清楚, 歡迎下載下面檔案編譯比較

標點符號(全型).tex 標點符號(全型).pdf

標點符號(半型).tex 標點符號(半型).pdf

LaTeX 隨插即用(二): 基礎環境介紹

LaTeX 不同於 office word, 它是一種幕後排版工具。不像 word 的所見即所得來的直觀, 然而它的排版品質卻是相當優異的。

LaTeX 的檔案分成兩部份: 文稿結構設定(我稱之為宣告)和正文, 大致如下:

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{xeCJK}
\setCJKmainfont{微軟正黑體} %設定全文使用的字型

\begin{document}
這是我的第一篇中文\LaTeX\ 。
\end{document}


\begin{document} 之前的就是文稿結構設定(宣告), 包含我們需用的設定(指令、字體、紙張、邊界......), 而 \begin{document} 和 \end{document} 中間的就是正文了。

如下圖, 把上面的內容貼在 Texworks 裡, 按一下左上角的綠色三角形, 就會編譯產生出右邊的 pdf 檔了。



是不是很簡單, 趕快來試試看吧!

LaTeX 隨插即用(一): 軟體篇

以前 LaTeX 光是安裝就讓很多人卻步, 現在只需要用 MiKTeX + xeLaTeX, 免安裝也能輕鬆使用。

首先先是軟體安裝:

1. 先至官網 http://miktex.org/portable下載 MikTex portable 版本
2. 解壓縮後, 雙擊 [miktex-portable.cmd] 就會在系統列出現 MikTex 的小圖示，在小圖示上按右鍵, 選擇 [Update MikTex], 進行所有的更新。
3. 更新完畢後, 為了要編譯中文, 同樣的在小圖示上按右鍵點選 [Package Manager] 把跟 cjk 有關的全部安裝。
4. 安裝完畢後, 點選 [Options], 在 [General] 選單裡點選 [Refresh FNDB] 和 [Update Formats]。另外, 確認 Install missing package on-the-fly 為 [Yes], 在有網路的情況下, MiKTeX 將會在編譯時自動安裝需要的套件。

接著是編輯軟體 Texwork 設定:

1. 在 MikTex 的小圖示上按右鍵, 打開 [TeXworks], 這是我們要用的編輯軟體, 簡單兩步驟設定。
2. 先選 [Edit]->[Preferences], 將 [Editor] 分頁中的 [Encoding] 選為 [UTF-8], 確定我們的存檔模式為 unicode。
3. 一樣是 [Preferences], 將 [typesetting] 分頁下方的 [processing tools] 的 [default] 選為 [XeLaTeX]。

到此安裝及設定就完成了。可以開始使用囉

如果這樣你還是不想下載而且懶得設定, 請留言, 我可以把我設定好的分享給你, 直接就能用。

普林頓322

相對於埃及人的莎草及木片、中國人的樹皮與竹簡, 巴比倫人用了幾乎不會毀壞的泥版記錄他們的歷史, 現存世界各地博物館中約莫500,000塊泥版則是我們對於巴比倫文明了解的重要文獻, 而其中約有300塊左右與數學有關。


「普林頓322」因為是紐約哥倫比亞大學普林頓蒐藏品第322號而得名, 該泥版年代大約是古巴比倫漢摩拉比王朝, 即西元前1800～1600年之間。而此文獻和「畢氏三元數」有關。文獻是以楔形文字書寫成的, 先用尖筆刻在濕的泥版上, 把泥版烘乾或曬乾變硬後就能成為永久的紀錄。

普林頓322工作單.tex、普林頓322工作單.pdf

畢達哥拉斯的形數

在泰勒斯(Thales of Miletus, 625 BC～547 BC)的學生中, 最有成就的當屬畢達哥拉斯(Pythagoras, 560 BC～480 BC)了。他學習了古代流傳下來的天文、數學知識, 最後定居在義大利南部的克羅托內, 建立了一個具有宗教、政治、學術等性質的團體。後人稱之為畢達哥拉斯學派。

畢達哥拉斯學派帶有濃厚的宗教色彩, 例如不准吃豆子、不准喝酒、東西掉了不准撿、不能有鐵做的東西撥弄火等等。而其最有獨特性的哲學觀點是「萬物皆數」: 他們認為所有事物一定和數有關, 認為世界萬物都起源於數(整數或其比值)。


畢達哥拉斯學派對數的研究相當多, 不但知道奇數、偶數、質數、合數, 而且還知道親和數、虧數、剩餘數、完全數等等。其中有一種很有趣的數: 形數。

形數工作單.tex、形數工作單.pdf

阿基米德求弓形面積

列出有史以來世界上三位最偉大的數學家名單, 其中必定有阿基米德(Archimedes, 287 BC～212 BC), 陪伴他的另外兩位通常是牛頓和高斯。「要是古希臘的數學家和科學家跟隨阿基米德而不是歐幾里德、柏拉圖和亞里斯多德, 他們本來會容易地使近代數學和近代物理學的時代提前到來...」E.T. Bell。
因此, 我們跟著阿基米德的腳步, 來感受一下他對於無窮的處理。

阿基米德求弓形面積工作單下載.tex、阿基米德求弓形面積工作單下載.pdf