空間中四點共平面的充要條件

眾所皆知, 無論在平面或空間中, 若$O$, $A$, $B$不為共線三點, 則「點$P$在直線$\overline{AB}$上」的充要條件是「存在一組實數$x$, $y$, 使得$\vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB}$, 且$x+y=1$」。 

我們從一題小考考卷的題目中延伸出這個想法, 來看看在空間中, 若$O$, $A$, $B$, $C$為不共平面四點, 則「點$P$在平面$ABC$上」的充要條件是「存在一組實數$x$, $y$, $z$使得$\vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB}+z\vec{OC}$, 且$x+y+z=1$」。 

證明出奇的簡單, 請參考附件囉。

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求銳角平分線-2

請先讀過求銳(鈍)角平分線(面)一文, 本文是這兩天因應學生的問題, 在一個清早靈光一現得到的結果。

先前我們提到, 要求兩直線之角平分線, 可用兩單位法向量相加後得到角平分線之法向量, 再將兩直線交點代入以法向量為係數的方程式中即可。然而這方法在交點的數字難處理的情況下會花費相對多的時間, 因此我們將方法進化成「當兩直線的係數平方和相等時(兩法向量等長), 兩直線相加即為角平分線方程式。」

例題和詳細說明請見附檔

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兩直線求銳角平分線

拜網路發展所賜, 今無意間找到張海潮教授《求角平分線或角平分面》的短文, 覺得很驚奇, 因此決定結合先前的做法, 整理成一篇文章。

在平面向量中有一典型的兩直線求銳角平分線的例題, 我們分別會用三種方法求解, 其中以張教授的「求單位法向量的和」最為簡潔方便。

請直接看檔案吧!!

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